par L'anonyme » 03 Jan 2008, 14:00
Soit un nombre de la forme XY.
XY-Y=X0 donc un nombre divisible par 10.
Maintenant, raisonnons par récurrence. On commence au rang 1:
10-1=9 9=9*1
Au rang 2:
20-2=18=2*9.
Si à un rang N quelconque, N0=Z*9, alors au rang N+1, on a (N+1)0-(N+1)=N0+10-N-1=9*1+9*Z=9(Z+1).
Donc quel que soit X et Y entiers naturels, on a XY-Y-X multiple de 9.
Maintenant, pour les littéraires:
Un nombre de deux chiffres auquel on retranche son chiffre des unités est un multiple de 10, puisque de fait, il termine par 0. Si tu lui enlèves sont nombre des dizaines, tu lui enlève un pour chacune de ses dizaines.
Le nombre étant égal à dix fois son nombre des dizaines, il est égal à la somme de "son nombre des dizaines" 10. Or, on le soustrait à son nombre des dizaines, donc à la somme de "son nombre des dizaines" 1. Du coup, on se retrouve avec une somme de "son nombre des dizaines" 9. Un multiple de neuf.
Si vous ne comprenez pas ma façon de l'écrire, remplacez "son nombre des dizaines" par.... Mettons, 6:
60= 6*10= 10+10+10+10+10+10
60-6= 10+10+10+10+10+10-1-1-1-1-1-1=9+9+9+9+9+9=6*9=54
(pour le chiffre des unités, on s'en fiche. Le nombre est de la forme 60+X, avec X entre 0 et 10, et on soustrait X. Donc, on obtient toujours 60, avant de retirer le 6 des dizaines)
Soit un nombre de la forme XY.
XY-Y=X0 donc un nombre divisible par 10.
Maintenant, raisonnons par récurrence. On commence au rang 1:
10-1=9 9=9*1
Au rang 2:
20-2=18=2*9.
Si à un rang N quelconque, N0=Z*9, alors au rang N+1, on a (N+1)0-(N+1)=N0+10-N-1=9*1+9*Z=9(Z+1).
Donc quel que soit X et Y entiers naturels, on a XY-Y-X multiple de 9.
Maintenant, pour les littéraires:
Un nombre de deux chiffres auquel on retranche son chiffre des unités est un multiple de 10, puisque de fait, il termine par 0. Si tu lui enlèves sont nombre des dizaines, tu lui enlève un pour chacune de ses dizaines.
Le nombre étant égal à dix fois son nombre des dizaines, il est égal à la somme de "son nombre des dizaines" 10. Or, on le soustrait à son nombre des dizaines, donc à la somme de "son nombre des dizaines" 1. Du coup, on se retrouve avec une somme de "son nombre des dizaines" 9. Un multiple de neuf.
Si vous ne comprenez pas ma façon de l'écrire, remplacez "son nombre des dizaines" par.... Mettons, 6:
60= 6*10= 10+10+10+10+10+10
60-6= 10+10+10+10+10+10-1-1-1-1-1-1=9+9+9+9+9+9=6*9=54
(pour le chiffre des unités, on s'en fiche. Le nombre est de la forme 60+X, avec X entre 0 et 10, et on soustrait X. Donc, on obtient toujours 60, avant de retirer le 6 des dizaines)